1068
0,3
2015-08-04
«То, чего на белом свете вообще не может быть…»
Дорогие друзья, я рад представить вам еще одну статью из серии своих путешествий по миру удивительного. Мы начали с разговора о числах-гигантах, где я попытался поделиться с вами своим восхищением от того, какие невероятные по своей величине числа окружают нас во Вселенной и как близко мы можем подойти по ним к самой бесконечности. Вторая статья рассказывала о микроскопически малых объектах, находящихся далеко за пределами видимости не только невооруженного глаза, но и самого сильного микроскопа. Сейчас я предлагаю вам отправиться в третье путешествие — путешествие в мир вероятностей. Мы рассмотрим примеры невероятных, но, тем не менее, математически возможных событий. Нам снова придется работать с числами, так что я заранее прошу прощения у гуманитариев (если, конечно, таковые есть на данном ресурсе). В общем, если вы, так же как и я, любите забивать голову бесполезными фактами, то добро пожаловать.
Давайте кратко коснемся вопроса, что вообще такое вероятность. Нередко этот термин понимают неправильно. Вероятность — это количественная оценка возможности наступления некоторого события. Она может принимать значения от нуля до единицы. Частая ошибка, которую здесь совершают, состоит в том, что эта оценка производится уже после наступления (или ненаступления) события. Хотя в этом случае вероятность как бы «схлопывается» и принимает всего лишь одно из двух значений: 0 или 1. То есть событие или наступило, или нет, и никакие расчеты здесь уже не причем. Хорошей иллюстрацией к данному утверждению будет известная поговорка о бесполезности махания кулаками после драки.
Очевидно, что события бывают более и менее вероятными. Я предлагаю отправиться в путешествие к таким, вероятность которых настолько близка к нулю, что аж захватывает дух. Конечно, для этого нам понадобятся некоторые знания об окружающем мире, умение считать и воображение. Не уверен, что у меня есть то, другое или хотя бы третье, но всё же давайте начнем.
И начнем мы с вероятности 0.5. Таковы шансы встретить на улице динозавра («или встречу, или не встречу») — известная шутка. А если серьезно, то одним из самых популярных поставщиков событий с этой вероятностью является обыкновенная монетка. Достаточно часто решения принимаются на основании того, ляжет она на орла или на решку. Например, в 1968 году на чемпионате Европы по футболу полуфинальная встреча между сборными СССР и Италии завершилась вничью, и ее исход был решен подкидыванием монеты. Кстати, в финал вышли итальянцы (и даже стали чемпионами Европы), а наши остались вовсе без медалей, проиграв и в матче за 3-е место. Вот такой коварной может оказаться вероятность 0.5.
Однако, даже если монета «идеальная» и даже если мы бросаем ее тоже «идеально» (что в реальном мире, конечно, недостижимо), вероятность того, что она упадет на орла или решку, не будет строго равна 0.5. Монета может стать на ребро, — и это вполне возможная ситуация, вероятность которой сильно зависит от толщины монеты и способа броска. Для более-менее стандартной монеты весьма приблизительно ее можно оценить как «1 к 6 000», что, согласитесь, совсем не так уж мало. Например, если вы совершите миллион бросков, то сможете ожидать, что монета встанет на ребро около 150 раз. То есть это будет случаться примерно 1 раз в 2 дня, если вы будете кидать целый год по 8 часов каждый день. А вот если вы захотите дождаться того, чтобы монета встала на ребро два раза подряд, то вам придется кидать монеты в том же темпе около 35 лет. В принципе, для особо упорных людей это тоже реально.
Конечно, «один к двум» или даже «один к шести тысячам» — это неинтересно. С такими событиями мы сталкиваемся постоянно. Уверен, что вы ждали чего-то большего, поэтому давайте не будем терять времени и сразу сделаем скачок к вероятности «один к миллиону». Какие события происходят с такой или примерно такой вероятностью? Таков шанс выиграть главный приз в какой-нибудь лотерее. Например, шанс угадать 6 номеров из 45 равен «1 к 8 145 060». Стоит упомянуть забавный эпизод, который произошел в сентябре 2009 года в Болгарии, когда в лотерее «6 из 42» одинаковые выигрышные числа выпали в двух тиражах подряд (в статье указана вероятность этого как «1 к 4.2 миллионам», но лично у меня получилось другое значение — «1 к 5 245 786»). Еще можно попробовать кинуть 9 игральных кубиков так, чтобы на всех них выпало одинаковое значение — «1 к 1 679 616». Или выкинуть 20 орлов из 20 брошенных монет — «1 к 1 048 576». Вероятность погибнуть от цунами — «1 к 500 000». Шансы получить «флеш рояль» в покере тоже примерно в этом диапазоне — «1 к 649 740».
Вообще, для того чтобы событие с вероятностью «один из миллиона» происходило хотя бы раз в жизни, нужно «пробовать» по 50 раз каждый день. Например, если мы ежедневно пересекаемся с 50 случайными людьми, то когда-нибудь в течение жизни столкнемся с тем, шанс встречи с которым «один на миллион». В принципе, это значение близко к такому, в которое вы уже смело можете не верить. Хотя если учесть, что на земном шаре проживает более 7 миллиардов человек, то даже столь редкие события ежедневно с кем-нибудь да происходят.
Двигаемся дальше, к еще более невероятным событиям, ждать наступления которых в течение собственной жизни уже точно никакого смысла нет. Вероятность глобальной катастрофы для цивилизации в результате падения крупного астероида в какой-либо год — «1 к 10 миллионам» (впрочем, для одного конкретного человека шанс погибнуть от астероида равен «1 к 500 тысячам», так что будьте осторожны). Вероятность с первой попытки найти иголку в стоге сена — примерно «1 к 100 миллионам» (а если не с первой и при соблюдении некоторых условий, то можно справиться всего за 2 дня). А можно ли случайно собрать разобранный кубик Рубика 3х3х3? Любая конкретная расстановка имеет шанс оказаться правильной всего лишь «1 к 4.32*10^19», так что на сборку может потребоваться 26 лет.
Вероятность выстрелить из бесконечно тонкого лазера (таких не бывает) в произвольную точку неба и попасть в «Вояджер-1» — «1 к 5*10^26» (в Солнце или Луну — «1 к 180 000»). А если просто ткнуть в случайную точку Вселенной, то во что-то попадешь с вероятностью всего лишь «1 к 10^31». Вероятность совпадения отпечатков пальцев у двух разных людей — «1 к 10^60». Человек, не умеющий играть в шахматы, имеет шанс выиграть у гроссмейстера примерно «1 к 10^100», если предположить, что ему придется угадать около 40 ходов, всякий раз делая один из двух-трех подходящих из 500 имеющихся в распоряжении всего (включая те, которые не соответствуют правилам).
Сделаем еще один качественный скачок к полной невероятности. Вероятность того, что нажимая клавиши на клавиатуре случайным образом, мы наберем точный текст данной статьи (в ней около 11 000 знаков) равна «1 к 40^11000». Это число, в котором после нуля и запятой идут еще 17 622 нуля и только потом какие-то значащие цифры. Это чрезвычайно низкая вероятность, так что вы можете быть уверены, что я прилагаю усилия, чтобы написать что-то осмысленное, а не просто беспорядочно стучу по клавиатуре.
Если же мы возьмем в качестве иллюстрации пример, уже ставший определенным стандартом, то напомню, что вероятность случайным образом напечатать оригинальный текст «Гамлета» равна приблизительно «1 к 10^183946». Это число в любом практическом смысле равно нулю, и оно не вырастет сколь-нибудь ощутимо, даже если мы заполним всю Вселенную печатными машинками планковского размера и будем ждать время сопоставимое со временем ее жизни. Проблема этих чисел в том, что они настолько малы, что их просто не с чем сравнивать, кроме как с другими, столь же нереальными. Причем сравнивать приходится уже не сами числа, а показатели степеней в их знаменателях. И напомню, что даже если этот показатель равен 6, то такое событие почти наверняка не произойдет в течение жизни одного человека.
Шансы для выброшенного в открытый космос человека быть подобранным случайно пролетающим звездолетом в течение 30 секунд, как известно, равны «1 к 2^267709» или «1 к 10^80588» («Автостопом по галактике», Д.Адамс). Другой популярный пример связан с вероятностью того, что весь воздух в комнате, в которой вы находитесь, случайным образом соберется в одной из ее половин. Математически это возможно, и никаких физических законов, запрещающих молекулам такое распределение, — нет. Вероятность этого для комнаты объемом 40 куб.м примерно равна «1 к 2^10^27» (в знаменателе у нас здесь двойка в октиллионной степени — вас это впечатляет?) или «1 к 10^10^26.5». Это число намного ближе к нулю, чем любое из предыдущих. Чтобы хоть как-то поработать с ним, приходится использовать замечательный калькулятор WolframAlpha.
И еще один пример вдогонку. Зачерпнем из озера 10-литровое ведро воды. Может ли при этом оказаться так, что вся вода в нем окажется «тяжелой» (в которой вместо водорода будет дейтерий — его изотоп с атомной массой равной 2)? Для справки: содержание тяжелой воды в обычной — 1 молекула на 5 500, а в ведре воды около 10^27 молекул. Получаем вероятность: «1 к 5500^10^27» или «1 к 10^10^27.5». Обратите внимание на то, что в предыдущем примере мы возводили в степень двойку, а в этом «5 500», — и тем не менее, получили схожие результаты. Это произошло потому, что показатели степеней у нас были умопомрачительно велики. В степень 10^27, в принципе, все равно какое число возводить (если оно хоть немного больше 1), — результаты будут одинаково огромны.
Мы уже близки к завершению, так что напряжем свою фантазию в последний раз и представим, что мы разобрали всю обозримую Вселенную на кубики планковского объема (предположим, что все они оказались разными), затем как следует их перемешали и расставили заново в случайном порядке. Какова вероятность того, что они встанут каждый на свое место? Она равна «1 к (10^185)!» или «1 к 10^10^187». Думаю, что это число уже достаточно близко к нулю, чтобы на нем остановиться.
Если у вас есть примеры каких-нибудь удивительных событий или совпадений, то я буду благодарен, если вы напишите о них в комментариях. И еще, по обыкновению своему, я хотел бы попросить уважаемых читателей указать на ошибки и неточности в данном тексте. Из моих предыдущих текстов вы, скорее всего, поняли, что я не физик, и я предполагаю, что сейчас к вам закрадутся подозрения, что я и не математик тоже. Это правда. Так что ошибки наверняка есть. Я бы хотел их исправить и чему-то научиться.
Источник: geektimes.ru/post/259090/
Давайте кратко коснемся вопроса, что вообще такое вероятность. Нередко этот термин понимают неправильно. Вероятность — это количественная оценка возможности наступления некоторого события. Она может принимать значения от нуля до единицы. Частая ошибка, которую здесь совершают, состоит в том, что эта оценка производится уже после наступления (или ненаступления) события. Хотя в этом случае вероятность как бы «схлопывается» и принимает всего лишь одно из двух значений: 0 или 1. То есть событие или наступило, или нет, и никакие расчеты здесь уже не причем. Хорошей иллюстрацией к данному утверждению будет известная поговорка о бесполезности махания кулаками после драки.
Очевидно, что события бывают более и менее вероятными. Я предлагаю отправиться в путешествие к таким, вероятность которых настолько близка к нулю, что аж захватывает дух. Конечно, для этого нам понадобятся некоторые знания об окружающем мире, умение считать и воображение. Не уверен, что у меня есть то, другое или хотя бы третье, но всё же давайте начнем.
И начнем мы с вероятности 0.5. Таковы шансы встретить на улице динозавра («или встречу, или не встречу») — известная шутка. А если серьезно, то одним из самых популярных поставщиков событий с этой вероятностью является обыкновенная монетка. Достаточно часто решения принимаются на основании того, ляжет она на орла или на решку. Например, в 1968 году на чемпионате Европы по футболу полуфинальная встреча между сборными СССР и Италии завершилась вничью, и ее исход был решен подкидыванием монеты. Кстати, в финал вышли итальянцы (и даже стали чемпионами Европы), а наши остались вовсе без медалей, проиграв и в матче за 3-е место. Вот такой коварной может оказаться вероятность 0.5.
Однако, даже если монета «идеальная» и даже если мы бросаем ее тоже «идеально» (что в реальном мире, конечно, недостижимо), вероятность того, что она упадет на орла или решку, не будет строго равна 0.5. Монета может стать на ребро, — и это вполне возможная ситуация, вероятность которой сильно зависит от толщины монеты и способа броска. Для более-менее стандартной монеты весьма приблизительно ее можно оценить как «1 к 6 000», что, согласитесь, совсем не так уж мало. Например, если вы совершите миллион бросков, то сможете ожидать, что монета встанет на ребро около 150 раз. То есть это будет случаться примерно 1 раз в 2 дня, если вы будете кидать целый год по 8 часов каждый день. А вот если вы захотите дождаться того, чтобы монета встала на ребро два раза подряд, то вам придется кидать монеты в том же темпе около 35 лет. В принципе, для особо упорных людей это тоже реально.
Конечно, «один к двум» или даже «один к шести тысячам» — это неинтересно. С такими событиями мы сталкиваемся постоянно. Уверен, что вы ждали чего-то большего, поэтому давайте не будем терять времени и сразу сделаем скачок к вероятности «один к миллиону». Какие события происходят с такой или примерно такой вероятностью? Таков шанс выиграть главный приз в какой-нибудь лотерее. Например, шанс угадать 6 номеров из 45 равен «1 к 8 145 060». Стоит упомянуть забавный эпизод, который произошел в сентябре 2009 года в Болгарии, когда в лотерее «6 из 42» одинаковые выигрышные числа выпали в двух тиражах подряд (в статье указана вероятность этого как «1 к 4.2 миллионам», но лично у меня получилось другое значение — «1 к 5 245 786»). Еще можно попробовать кинуть 9 игральных кубиков так, чтобы на всех них выпало одинаковое значение — «1 к 1 679 616». Или выкинуть 20 орлов из 20 брошенных монет — «1 к 1 048 576». Вероятность погибнуть от цунами — «1 к 500 000». Шансы получить «флеш рояль» в покере тоже примерно в этом диапазоне — «1 к 649 740».
Вообще, для того чтобы событие с вероятностью «один из миллиона» происходило хотя бы раз в жизни, нужно «пробовать» по 50 раз каждый день. Например, если мы ежедневно пересекаемся с 50 случайными людьми, то когда-нибудь в течение жизни столкнемся с тем, шанс встречи с которым «один на миллион». В принципе, это значение близко к такому, в которое вы уже смело можете не верить. Хотя если учесть, что на земном шаре проживает более 7 миллиардов человек, то даже столь редкие события ежедневно с кем-нибудь да происходят.
Двигаемся дальше, к еще более невероятным событиям, ждать наступления которых в течение собственной жизни уже точно никакого смысла нет. Вероятность глобальной катастрофы для цивилизации в результате падения крупного астероида в какой-либо год — «1 к 10 миллионам» (впрочем, для одного конкретного человека шанс погибнуть от астероида равен «1 к 500 тысячам», так что будьте осторожны). Вероятность с первой попытки найти иголку в стоге сена — примерно «1 к 100 миллионам» (а если не с первой и при соблюдении некоторых условий, то можно справиться всего за 2 дня). А можно ли случайно собрать разобранный кубик Рубика 3х3х3? Любая конкретная расстановка имеет шанс оказаться правильной всего лишь «1 к 4.32*10^19», так что на сборку может потребоваться 26 лет.
Вероятность выстрелить из бесконечно тонкого лазера (таких не бывает) в произвольную точку неба и попасть в «Вояджер-1» — «1 к 5*10^26» (в Солнце или Луну — «1 к 180 000»). А если просто ткнуть в случайную точку Вселенной, то во что-то попадешь с вероятностью всего лишь «1 к 10^31». Вероятность совпадения отпечатков пальцев у двух разных людей — «1 к 10^60». Человек, не умеющий играть в шахматы, имеет шанс выиграть у гроссмейстера примерно «1 к 10^100», если предположить, что ему придется угадать около 40 ходов, всякий раз делая один из двух-трех подходящих из 500 имеющихся в распоряжении всего (включая те, которые не соответствуют правилам).
Сделаем еще один качественный скачок к полной невероятности. Вероятность того, что нажимая клавиши на клавиатуре случайным образом, мы наберем точный текст данной статьи (в ней около 11 000 знаков) равна «1 к 40^11000». Это число, в котором после нуля и запятой идут еще 17 622 нуля и только потом какие-то значащие цифры. Это чрезвычайно низкая вероятность, так что вы можете быть уверены, что я прилагаю усилия, чтобы написать что-то осмысленное, а не просто беспорядочно стучу по клавиатуре.
Если же мы возьмем в качестве иллюстрации пример, уже ставший определенным стандартом, то напомню, что вероятность случайным образом напечатать оригинальный текст «Гамлета» равна приблизительно «1 к 10^183946». Это число в любом практическом смысле равно нулю, и оно не вырастет сколь-нибудь ощутимо, даже если мы заполним всю Вселенную печатными машинками планковского размера и будем ждать время сопоставимое со временем ее жизни. Проблема этих чисел в том, что они настолько малы, что их просто не с чем сравнивать, кроме как с другими, столь же нереальными. Причем сравнивать приходится уже не сами числа, а показатели степеней в их знаменателях. И напомню, что даже если этот показатель равен 6, то такое событие почти наверняка не произойдет в течение жизни одного человека.
Шансы для выброшенного в открытый космос человека быть подобранным случайно пролетающим звездолетом в течение 30 секунд, как известно, равны «1 к 2^267709» или «1 к 10^80588» («Автостопом по галактике», Д.Адамс). Другой популярный пример связан с вероятностью того, что весь воздух в комнате, в которой вы находитесь, случайным образом соберется в одной из ее половин. Математически это возможно, и никаких физических законов, запрещающих молекулам такое распределение, — нет. Вероятность этого для комнаты объемом 40 куб.м примерно равна «1 к 2^10^27» (в знаменателе у нас здесь двойка в октиллионной степени — вас это впечатляет?) или «1 к 10^10^26.5». Это число намного ближе к нулю, чем любое из предыдущих. Чтобы хоть как-то поработать с ним, приходится использовать замечательный калькулятор WolframAlpha.
И еще один пример вдогонку. Зачерпнем из озера 10-литровое ведро воды. Может ли при этом оказаться так, что вся вода в нем окажется «тяжелой» (в которой вместо водорода будет дейтерий — его изотоп с атомной массой равной 2)? Для справки: содержание тяжелой воды в обычной — 1 молекула на 5 500, а в ведре воды около 10^27 молекул. Получаем вероятность: «1 к 5500^10^27» или «1 к 10^10^27.5». Обратите внимание на то, что в предыдущем примере мы возводили в степень двойку, а в этом «5 500», — и тем не менее, получили схожие результаты. Это произошло потому, что показатели степеней у нас были умопомрачительно велики. В степень 10^27, в принципе, все равно какое число возводить (если оно хоть немного больше 1), — результаты будут одинаково огромны.
Мы уже близки к завершению, так что напряжем свою фантазию в последний раз и представим, что мы разобрали всю обозримую Вселенную на кубики планковского объема (предположим, что все они оказались разными), затем как следует их перемешали и расставили заново в случайном порядке. Какова вероятность того, что они встанут каждый на свое место? Она равна «1 к (10^185)!» или «1 к 10^10^187». Думаю, что это число уже достаточно близко к нулю, чтобы на нем остановиться.
Если у вас есть примеры каких-нибудь удивительных событий или совпадений, то я буду благодарен, если вы напишите о них в комментариях. И еще, по обыкновению своему, я хотел бы попросить уважаемых читателей указать на ошибки и неточности в данном тексте. Из моих предыдущих текстов вы, скорее всего, поняли, что я не физик, и я предполагаю, что сейчас к вам закрадутся подозрения, что я и не математик тоже. Это правда. Так что ошибки наверняка есть. Я бы хотел их исправить и чему-то научиться.
Источник: geektimes.ru/post/259090/
