Как сделать невозможные обои: история запрещённых симметрий

Поделиться



На первый взгляд придумывать обои не сложнее, чем выполнять задания из детского сада. Дизайнеры могут выбрать любое сочетание цветов и форм для первоначального кусочка, и просто размножить его в двух направлениях. В зависимости от узора начального кусочка и выбора направлений могут появляться и дополнительные симметрии – к примеру, симметрия шестого порядка на первой картинке, или зеркальная на второй. Оба узора созданы математиком Фрэнком Фарисом из калифорнийского университета Санта-Клары.



Слева – узор обоев с симметрией вращения шестого порядка вокруг каждой из коричнево-зелёных розеток. Справа – узор обоев с зеркальной симметрией относительно горизонтальных линий, проходящих через каждый эллиптический элемент орнамента витража.

 



Плитки Пенроуза демонстрируют множество примеров локальной симметрии пятого порядка, но у них не встречается повторений узора. При заполнении больших областей на плоскости отношение количества широких плиток к количеству узких приближается к золотому сечению.

Но, хотя можно сделать обои с вращательными симметриями второго, третьего, четвёртого или шестого порядков, невозможно создать обои с симметрией пятого порядка (порядок показывает, сколько раз во время поворота на 360° произойдёт самосовмещение узора – прим. перев.). Это ограничение известно математикам почти 200 лет как «кристаллографическое ограничение». Геометрия пятиугольника запрещает узоры с симметрией пятого порядка. То же верно для порядков семь и более.

Тем не менее, самые интересные узоры, такие, как плитки Пенроуза, проявляют локальную симметрию пятого порядка во многих местах и на разных масштабах, только без повторяющихся узоров. Используя отличающийся от подхода Пенроуза метод, Фаррис обуздал необычную геометрию симметрии пятого порядка и создал новый набор захватывающих изображений – псевдо-обои, не подчиняющиеся, на первый взгляд, кристаллографическому ограничению.



Рис. 4

 

4-й рисунок выглядит как контрпример для кристаллографического ограничения, обладая вращательной симметрией пятого порядка вокруг точки А, при том, что узор можно сдвинуть на плоскости в направлениях AB или AC. На самом деле Фарис пишет в своей статье для журнала Notices of the American Mathematical Society, что это картинка – всего лишь хитроумная подделка.

«Вы знаете, что наблюдаемая вами симметрия невозможна», говорит Стивен Кеннеди из Карлтонского колледжа в Миннесоте. 

Вращательная симметрия пятого порядка вокруг точки А вроде бы выполняется. Но если присмотреться, то можно заметить, что колёсики вокруг точек В и С немного отличаются от А. Если бы мы могли отдалиться от узора, чтобы увидеть большее количество повторений, то видимые повторения узора были бы всё меньше и меньше похожими на узор в районе точки А, даже если бы всё более убедительные копии А появлялись бы в других местах, как на рис. 5. Фарис показал, что такие иллюзии можно создавать и на более крупных масштабах, удаляясь от узора и повторяя его определенное количество раз – а конкретно, количество раз, соответствующее числам из ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… где каждое следующее число является суммой двух предыдущих), который тоже играет свою роль в геометрии плиток Пенроуза.



Рис. 5

«Разумом мы понимаем, что это какой-то обман», — говорит Фарис. Тем не менее, как он пишет в статье, эти изображения «приглашают наш взгляд к их изучению и наслаждению почти идеальными повторами».

Фарис додумался до этих подделок, изменив технологию, при помощи которой он создавал настоящие обои с вращательной симметрией 3-го порядка, такие, как на рис. 6.

Для создания симметрии 3-го порядка Фарис начал работу в трёхмерном пространстве, у которого есть одно особенно естественное вращение, перебирающее три пространственные координаты, и вращающее точки в пространстве на 120 градусов вокруг диагонали. Затем Фарис создал трёхмерные узоры обоев, накладывая особым образом выбранные синусоиды и сочетая их с заранее выбранной палитрой цветов. Точки окрашивались в зависимости от их положения на наложенных синусоидах. Затем Фарис вывел плоские обои, ограничив этот окрас двумерной плоскостью, перпендикулярно пересекающей ось вращения изначального пространства.

Этот плавный, использующий синусоиду, подход к созданию узоров обоев отличается от традиционного метода копирования и вставки, говорит Кеннеди. «Это весьма новый способ создавать симметричные узоры».



Рис. 6

Та же самая процедура, проделанная в пятимерном пространстве, вроде было должна приводить к созданию узора с симметрией пятого порядка – если бы только мы не знали, что это невозможно. Интересно, задумался Фарис, в какой же момент эта система даёт сбой?

Теоретически, пятимерное пространство возможно, хотя его и трудновато себе представить. У него существует естественный аналог симметрии вращения пятого порядка, как и у трёхмерного пространства – симметрия третьего. В пятимерном пространстве можно выбрать одну из двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна оси вращения и другой плоскости. Каждую из них можно вращать вокруг точки на 72 или 144 градуса. Может показаться сложным представить себе две плоскости и прямую, перпендикулярные друг другу, но в пяти измерениях им всем хватает места.

Фарис понял, в чём проблема – если перпендикулярная плоскость аккуратно прорезает трёхмерное пространство, и содержит бесконечные обои с бесконечным числом точек, обладающих целочисленными координатами, то две перпендикулярные плоскости в пятимерном пространстве иррациональны, и вообще не содержат точек с целочисленными координатами (кроме точки отсчёта). Поскольку узор обоев, созданный из синусоид, повторяется через сдвиги на целые числа, такие плоскости не наследуют узоров у пространств высшего порядка.

«Вот так и появляется муха в супе», — пишет Фарис в статье.

Тем не менее, на этих двух плоскостях появляется иллюзия структуры обоев, благодаря участию т.н. золотого сечения, иррационального числа, описывающего направления двух плоскостей, и чисел Фибоначчи.

 

Также интересно: Числа Фибоначчи  

СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ — зашифрованный закон природы

 

Благодаря их взаимоотношениям, Фарису удалось показать, что хотя на двух плоскостях и нет точек с целочисленными координатами, каждая из них очень близко подходит к бесконечному рассеянию точек с целочисленными координатами, координаты которых представляют собой числа Фибоначчи. Каждый раз, когда плоскость приближается к одной из таких точек Фибоначчи, узор выглядит почти так же, как в точке отсчёта, что и создаёт иллюзию точной копии.





Также Фарис придумал, как совместить цвета и узоры фотографий природы с волновыми функциями, чтобы включить их в дизайн узоров, в результате чего можно получить огромное количество «ненастоящих» обоев. На приведённом рисунке можно разглядеть ветви деревьев, перекочевавшие с фотографии.опубликовано 

 

Перевод: Erica Klarreich

 

P.S. И помните, всего лишь изменяя свое сознание  - мы вместе изменяем мир! ©

Источник: geektimes.ru/post/284594/

Арт-трактор для узоров на песке

Поделиться







           Будучи современным человеком, который знает толк в новых технологиях и верит, что за ними будущее, художница задействовала в работе технику, да не какую-нибудь, а большой и мощный трактор. Вот только вместо косилки, которая на обычном поле помогает собирать урожай, Гунилла Клинберг оборудовала трактор специальным валиком вроде тех, которые установлены на асфальтоукладочных катках, а на валик нанесла выпуклый узор-орнамент. Теперь он будет оставлять на песке фигурный декоративный след, а этого нам и нужно.



        Креативный узор из звезд и геометрических узоров, покрывая песчаные пляжи напоминает не только о временах СССР и коммунизме. Он также не дает забыть о том, что где-то в космосе обитают наши братья по разуму, и поле, усыпанное узорчатыми звездами, станет для них своеобразным сигналом-приглашением к общению.





               Увы, но ждать, пока арт-проект A Sign In Space принесет свои первые плоды, слишком утомительно и долго. Остается лишь надеяться, что хотя бы наши внуки смогут отведать этих самых «плодов»… А может, к тому времени мы и собратья из космоса уже станет хорошими друзьями и соратниками.

Источник: /users/78

Дома с конической крышей трулли, Альберобелло

Поделиться



        Альберобелло (Alberobello) – столица «труллей»

      Проезжая мимо многочисленных оливковых рощ, фруктовых садов и виноградников по автодороге Strada dei Trulli (на автомобильных картах она обозначена как SS172), вы попадете в совершенно сказочный белый город Альберобелло, уникальный по своей необычности и красоте.









        Альберобелло является одним из самых популярных туристических мест в Апулии (Puglia), благодаря комплексу из 1000 труллей, признанных ЮНЕСКО мировым наследием. Трулли (trulli) – это причудливые круглые сооружения со сводчатым потолком и конической крышей, сложенные методом «сухой кладки» (т.е. без использования какого либо связующего раствора) из грубо обработанных блоков известняка, собранных с местных полей.



        Стены труллей обычно выбелены, а каменная черепица на крышах домов часто разрисована религиозными, языческими или магическими символами. Такими символами могут быть звезды, сердца, полумесяцы, кресты и т.д. На крышах часто можно увидеть различные узоры, которые также обладают особым символизмом.









        Происхождение труллей неясно, но так обычно называли круглые древнеримские гробницы в сельской местности. Существует и другая версия, согласно которой их название произошло от латинского слова «trulla», что значит купол.

        История возникновения трулли и их столицы Альберобелло берет начало в XV веке, когда по указу короля Неаполя Фердинанда Арагонского эти земли были переданы семейству Аккуавива из Конверсано за перенесенные им страдания в войне против Турции. При господстве графа Андреа Маттео д' Аккуавива началось тайное строительство городка Альберобелло, поскольку граф, в действительности, нарушал действующий в то время королевский указ, согласно которого для создания каждого нового городского поселения необходимо было получить королевское разрешение, а с каждого мало-мальски значимого сооружения — заплатить немалый налог в казную.

        Развиваться как город, Альберобелло начал только с 1635 года благодаря графу Giangirolamo, названному «Косоглазый Puglie». Граф хотел создать феод, независимый от арагонского суда Неаполя, поэтому был заинтересован в увеличении населения и строительстве городского поселения. А чтобы не платить королевские налоги за строительство новых домов, он приказал подданным, чтобы дома были построены сухим способом, с использованием только камня без извести и других связывающих материалов. В случае королевской инспекции такие строения представлялись, как временные, которые легко могли быть разрушенными. С помощью трех лошадей, направленных в разные стороны, извлекали камень в основании крыши, на котором держался весь дом, и вместо строения оказывалась груда камней. После того как королевская инспекция удалялась, трулли также достаточно легко восстанавливались…









        Всего в Апулии около 20 тысяч трулло, существуют специальные карты, где обозначены все существующие строения. Первый трулло был построен в 1635 году, а в 1925 году вышел закон о прекращении строительства таких домов.

        Наиболее интересной частью тролли несомненно являются их странные крыши-купола. Крыши трулли строились из двух слоев: внутренний слой выкладывался из известняковых блоков, а внешний – из известняковых пластин. Такая конструкция мешает проникновению воды внутрь жилища. Как правило, крыша одного трулло состоит из нескольких конусов. Когда-то крыши трулли были белыми, но с течением времени изменили цвет и потемнели. Купола труллей бывают мужского и женского рода. У «самцов» есть маковки,«пинакколо». Раньше по строению куполов узнавали, что за мастер строил дом.

        Стены трулли достигают около 1 метра в ширину и это создает комфортную атмосферу внутри дома. Зимой внутри трулли достаточно тепло, а летом бывает прохладно. В большинстве случаев внутри трулло находится центральная комната с дополнительными помещениями в виде ниш. Многокомнатный дом трулло имеет несколько крыш-конусов, под каждой из которых размещена отдельная комната. Многие трулли находятся под защитой ЮНЕСКО, самые старые из них относятся к 16 веку.

        Практически все трулли находятся в частной собственности, и, соответственно, продаются и покупаются.
        Цена трулля зависит от состояния и места и колеблется от 5 до 30 тысяч евро.

        В форме трулли построена и церковь Святого Антонио (1926-27 гг. постройки), расположенная в районе Rione Monti.

        Каждый год миллионы туристов приезжают в этот сказочный город, чтобы побродить по его узким улочкам… 







 

Источник: /users/78

Другой мир из лесных пейзажей

Поделиться



        Дети, а так же мечтатели и романтики, придумывают свой собственный мир, в котором реальные детали без труда сочетаются с вымышленными. Примерно так же поступает британский фотограф и редактор Мэтт Уолфорд (Matt Walford): обращаясь к ребёнку внутри себя, он создает фантастические ворота в иные миры из простых лесных пейзажей.









        «Во всех своих работах я веду себя одинаково: сперва я разрушаю целостность природы на снимках, будь то пейзаж, цветок, зелёный лист или какой нибудь съедобный плод. Затем я мечтательно реконструирую естественные вещи и создаю и их фрагментов вселенную, в которой вещи существуют иначе, — не так, как мы привыкли видеть. Я думаю, что в этом меня поймёт каждый мальчишка: кому не знакомо это острое желание разобрать сложный предмет на винтики-гаечки и понять, как он работает, а затем собрать назад? — Фактически, изобрести заново — с большой любовью к науке и миру природы.

        Этой фото-реконструкции посвящена серия сюрреалистических иллюстраций под названием «Порталы» (Portals). Художнику явно не под силу просто наслаждаться той красотой, которую он видит сквозь призму своего фотоаппарата – пейзажами лесных опушек и болотистых заводей, сочными красками весенних цветов и осенней листвы – его непоседливый разум ищет пути сотрудничества с ней в той или иной форме.





        В результате этого переосмысления и большого профессионализма Мэтта мы имеем возможность полюбоваться фантастическими картинами: и хотя они напоминают великолепные узоры арабских фресок, а кое-где можно насчитать целых восемь солнц одновременно, эти «порталы» всё же рождены из настоящих земных пейзажей.

        Чтобы добиться столь впечатляющих результатов, фотограф использует сочетание разных техник: начиная цифровой фотографией и коллажированием, и заканчивая использованием модифицированного планшетного сканера, предназначенного для работы с чёрно-белыми и цветными полутоновыми изображениями. Это довольно тонка и капризная аппаратура, одной из наиболее важных характеристик которой является глубина цвета, или «битность цвета», как сказали бы профессионалы. От этого параметра зависит способность проработки деталей в тенях изобразительного материала — то есть качество передачи градации серого тона и яркости. Понятно, что процесс редактирования требует не только больших затрат времени, но и больших знаний в этой области.









        Один из снимков этой серии весьма кстати был выбран издательством «Duncan Baird Publishers» в качестве обложки к книге Тима Фрика «Мистический опыт» (Tim Freke: The mistery experience). Этот философский труд является результатом 40-летних исследований различных культур и их мировоззрений, учёных прошлого и современности. В книге собран калейдоскоп вдохновляющих идей, которые автор почерпнул из квантовой физики, буддизма, восточных практик, трудов Карла Юнга, Джозефа Кэмпбелла, Уолта Уитмена. Можно сказать, что «Мистический опыт» — это способ, которым человек из 21 века может выразить вечную мудрость жизни в принципиально новой и одновременно доступной форме, которая дополняет открытия современной науки.



Источник: /users/104

Узоры на горных склонах Альп

Поделиться



        Любой из нас хотя бы раз в жизни поддавался соблазну оставить следы на свежем снегу, а некоторые с удовольствием вытаптывали своё имя или несложные фигуры на полянке. Руководствуясь тем же принципом, художник Саймон Бек (Simon Beck) каждое зимнее утро обувает свои снегоступы создает настоящее искусство – или Snow Art. Так на ослепительных снежных «холстах» рождаются совершенные по форме и исполнению объёмные фигуры в виде звёзд, снежинок, фракталов  и даже логотипов компаний, производящих снаряжение для альпинистов.









        Вот уже девять лет на горнолыжном курорте «Arc 2000» в городке Лез-Арк (Les Arcs) во французских Альпах на замёрзших поверхностях Савойских озер появляются огромные трехмерные геометрические узоры, которыми туристы и местные жители любуются с близлежащих склонов. На этот раз уфологи могут быть спокойны, ведь эти изображения величиной с несколько футбольных полей – не письмена инопланетян, а художественный результат спортивных тренировок Саймона Бэка (Simon Beck).

        Британец по происхождению, Саймон окончил Оксфордский университет как инженер. В течении многих лет Саймон занимался спортивным ориентированием, составлял карты горной местности, для чего каждый зимний сезон проводил в Альпах. Когда Саймону исполнилось 44, он получил сложную травму обеих ног, так что с лыжами и крутыми горными склонами пришлось расстаться. Согласно рекомендациям врачей, Бэку необходимо было ежедневно давать нагрузку своим ногам и совершать прогулки по ровному ландшафту.





        Другой на месте Саймона сдался бы и, распрощавшись с экстремальной красотой Альп, бродил бы по асфальтированным дорожкам вокруг дома. Но вместо этого бывший инженер снова отправился в предгорья Альп, ещё нетронутые людьми, где неожиданно перевоплотился в художника.

        Первую свою фигуру — пятиконечную звезду, художник старательно «напечатал» на неглубоком снегу с помощью обычных зимних ботинок, однако это оказалось физически очень тяжелым занятием. Поэтому Саймон воспользовался снегоступами, которые оставляют на поверхности наста более широкие и заметные издалека «стежки», — и работа закипела.  Попутно талантливый дебютант изучал особенности Snow Art: под каким углом падает солнце на поверхность склонов, где толще и безопаснее лёд, и откуда ждать возможный сход лавины.









        Саймон настолько полюбил то, чем занимался, что в конце концов продал свою квартиру в Англии и окончательно переехал в «Arc 2000». Летом этот «снежный гений» рисует будущие проекты на бумаге, сопоставляя контуры с картой местности. А зимой приходит время действовать: художник уверенно и точно воплощает свои рисунки в жизнь.

        Сложность этого искусства в том, что снег не даёт мастеру права на ошибку: стоит оступиться или упасть, и десять часов работы над сложным изображением окажутся потраченными впустую! Саймон старается использовать только недавно выпавший снег, глубина которого не превышает 4-6 дюймов, а инструментами ему служат специальные 30-дюймовые снегоступы фирмы «TSL», а так же компас, рулетка и другие простые приспособления для расчетов.

        Художник старается старается завершить работу в нужные сроки, понимая что его хрупкие произведения разрушит первый же сильный ветер или снегопад. И в то же время, глядя на эти недолговечные шедевры графики, начинаешь осознавать всю иллюзорность жизни, искусства и красоты как таковых. Чтобы старания всё-таки не были напрасными, автор фотографирует свои снежные картины и публикует их на своей персональной страничке в Facebook.

        Истинная любовь Саймона к горам, снегу и необычному искусству сделали его знаменитым во Франции и далеко за её пределами. Масштабные снежные «принты» так же получили высокую оценку и среди американских деятелей искусства – за них художник был удостоен премии «Most Extreme Art» от нью-йоркского Общества Уникальных Артистов.

 




Источник: /users/104

Абстрактные узоры, созданные самой природой

Поделиться



«Чистота как грязь» из пустыни Алворда, в штате Орегон.




Читать дальше →

Ароматное Кофе

Поделиться



Узоры природы: Таинственная планета Земля

Поделиться



Представляем вам очередной выпуск из серии “Узоры природы”, в которых вы найдете самые разные текстуры, созданные самой природой – ландшафты, увиденные с высоты птичьего полета или одноклеточные организмы, увеличенные в сотни раз…

Границы четырех стран – Саудовской Аравии, Омана, Йемена и ОАЭ – неясное пятно под поднимающимися песками пустыни Руб-эль-Хали. (George Steinmetz)




Читать дальше →